Парадоксы теории вероятностиВсем здравствуйте!
Последние два «вечера-ночи» я воюю со звуками в HTML5 и движке EaselJS, когда выйду в эфир — неизвестно из-за предновогодних приготовлений. Наши хахатонные 9 дней завершились, дальнейшее допиливание игры пошло чуть медленнее т.к. основные результаты достигнуты. Ну а вашему вниманию предлагается замечательный парадокс, который я вычитал из книжки Секея Г. «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике». Текст передаю своими словами:

Есть игра: двое садятся за стол, третий — беспристрастный ведущий. Каждый кон он выбирает одного из двух игроков и пишет на бумажке приклеенной к его лбу совершенно случайное натуральное число, а у другого на лбу пишет число, которое либо на 1 меньше, либо на 1 больше. Каждый игрок видит число соперника, но не видит свое число. Каждый игрок имеет право сколько угодно раз говорить ведущему переписать числа на лбах заново из каких-то своих соображений. После того, как оба игрока согласны узнать победителя и не просят переиграть кон, они одновременно снимают бумажки с числами. Выигрывает тот игрок, у которого написано большее число, при этом проигравший платит выигравшему столько рублей, сколько написано у проигравшего. После выплаты игра начинается сначала. Игра абсолютно симметрична, т.е. у ведущего нет никаких предпочтений.

Попробуем найти оптимальную стратегию игрока. Представим, что мы играем с товарищем. Вот ведущий написал какое-то число у нас и какое-то число у товарища. Мы можем увидеть число соперника N. Тогда у нас на лбу написано с равной вероятностью, либо N+1, либо N-1. Если мы сейчас не попросим ведущего переигровки, то мы с равной вероятностью (1/2) выиграем, либо проиграем. При этом, если мы выиграем, то получим N, а если проиграем, то отдадим N-1 (см. правила игры). Таким образом, математическое ожидание выигранной суммы (средний выигрыш): 0.5*N — 0.5*(N-1) = 0.5 р. Поэтому нам не выгодно просить переиграть, хотя и от этого ничего не поменяется. Но наш соперник думает симметрично нам и также считает, что в среднем будет выигрывать 0.5 р. за кон. Получается, если играть в эту игру достаточно долго, то обе стороны вскоре станут миллионерами, что противоречит здравому смыслу: деньги не могут взяться из ниоткуда.

Если вы считаете, что догадались, то следующая подсказка для вас (если еще не знаете — не читайте дальше :-) ). Разгадка кроется не в хитром подсчете мат. ожидания выигрыша. С ним здесь все правильно. Здесь можно с легкостью придумать несколько других способов подсчета этого мат. ожидания, которые будут приводить к другим результатам и выводам, но это не разгадывает парадокс, а только его усложняет. Вторая подсказка: натуральные числа — числа от 0 до плюс бесконечности. Не следует рассматривать варианты, когда у соперника или у нас на лбу написано 0 т.к. вероятность этого события ничтожна и влияние этого события на средний выигрыш тоже ничтожно.

Автор Дата 26.12.2012 Время 10:14 · 636 комментариев · Рубрика Лимонные задачи
 

Добавить комментарий